Natura e matematica: i numeri di Fibonacci, la sezione aurea e gli studi di Alan Turing

Come si sviluppano le forme e le strutture naturali? Pensiamo ad esempio alla disposizione dei petali dei fiori, alle simmetrie nel mantello di alcuni animali, alla forma a spirale delle galassie, al disegno perfetto sul guscio delle conchiglie. Il linguaggio matematico permette di comprendere come queste forme si sviluppano, il che lascia quindi intendere che ci sia uno stretto legame tra natura, matematica e geometria. Tale questione è stata affrontata da molti scienziati fin dall'antichità.

UN BREVE CENNO SU FIBONACCI

Leonardo Pisano, detto Il Fibonacci è stato un matematico italiano che è vissuto tra il 1170 e 1242 (non si conoscono con esattezza le date di nascita e morte). Assieme al padre, facoltoso mercante pisano, ha dapprima vissuto in Algeria, per poi viaggiare nel nord Africa e nei dintorni del mediterraneo alternando il commercio agli studi matematici, imparando nuovi procedimenti aritmetici che gli studiosi mussulmani stavano divulgando nel mondo arabo. E' così che Fibonacci ha studiato e appreso il sistema numerico indo-arabico, ovvero il sistema decimale con le cifre da 0 a 9 che oggi usiamo in tutto il mondo. L'interesse di Fibonacci per il sistema numerico arabo era ben giustificato dal fatto che fosse molto più semplice, rispetto a quello romano, per eseguire le classiche operazioni di aritmetica come addizioni e sottrazioni, questione rilevante anche a fini commerciali. Così nel 1202 nella sua opera più famosa, il Liber Abaci, introduce in Europa il sistema numerico decimale, che apprendiamo ed utilizziamo ancora oggi in tutto il mondo. Nello stesso libro Fibonacci pubblica anche la famosa sequenza numerica che porta il suo nome. L'intento di Fibonacci era descrivere con un modello matematico la crescita di una popolazione di conigli.
Assumendo, quindi, che

• si disponga di una coppia di conigli appena nati
• questa prima coppia diventi fertile al compimento del primo mese e dia alla luce una nuova coppia al compimento del secondo mese;
• le nuove coppie nate si comportino in modo analogo;
• le coppie fertili dal secondo mese di vita in poi diano alla luce una coppia di figli al mese

Si verifica quanto segue

• dopo un mese una coppia di conigli sarà fertile
• dopo due mesi ci saranno due coppie di cui una sola fertile,
• nel mese seguente, terzo mese dal momento iniziale, ci saranno 2 + 1 = 3 coppie perché solo la coppia fertile avrà generato; di queste tre, due saranno le coppie fertili, quindi
• nel mese seguente (quarto mese dal momento iniziale) ci saranno 3 + 2 = 5 coppie

Il numero di coppie di conigli di ogni mese esprime quindi la successione di Fibonacci che altro non è che una successione di numeri interi in cui ciascun numero è la somma dei due precedenti, eccetto i primi due. La successione di Fibonacci è dunque:

0, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 . . .

SERIE DI FIBONACCI, SEZIONE AUREA E SPIRALE LOGARITMICA

Questa serie di numeri, ben nota fin dai tempi più antichi ai matematici arabi e indiani da cui Fibonacci aveva appreso, la ritroviamo in natura. Nelle piante, ad esempio, quasi tutti i fiori hanno tre, cinque, otto, tredici, ventuno, trentaquattro, cinquantacinque o ottantanove petali. I gigli, ad esempio, ne hanno tre, i ranuncoli cinque, il delphinium spesso ne ha otto, la calendula tredici, l'astro ventuno e le margherite di solito ne hanno trentaquattro, cinquantacinque o ottantanove.

Non è finita qui, perchè una proprietà notevole della successione di Fibonacci è che il rapporto tra un numero della serie e quello immediatamente precedente si avvicina sempre più al numero 1.61803398874989. Tale numero rappresenta la famosa sezione Aurea o numero aureo, anch'esso ben noto fin dall'antica Grecia (era sicuramente noto a Pitagora che lo chiamava "proporzione divina"). Dal punto di vista geometrico la sezione aurea [si scrive con il simbolo φ] indica la divisione (sezione) di un segmento in due parti, la maggiore delle quali (aurea) risulti media proporzionale fra l’intero segmento e la parte rimanente.

Il segmento totale ${\displaystyle c}$ sta al segmento più lungo ${\displaystyle a}$ come quest'ultimo ${\displaystyle a}$ sta al segmento più corto ${\displaystyle b}$:
${\displaystyle c:a=a:b=\varphi }$

Se si disegna un rettangolo con i lati in rapporto aureo fra di loro, lo si può dividere in un quadrato e un altro rettangolo, simile a quello grande nel senso che anche i suoi lati stanno fra loro nel rapporto aureo. A questo punto il rettangolo minore può essere diviso in un quadrato e un rettangolo che ha pure i lati in rapporto aureo, e così via. La curva che passa per vertici consecutivi di questa successione di rettangoli è una spirale

Questo tipo di spirale viene definita logaritmica e la troviamo spesso in natura. I falchi si avvicinano alla loro preda secondo una spirale logaritmica: il loro angolo di vista migliore forma un certo angolo con la loro direzione di volo, e questo angolo è l'inclinazione della spirale. Si possono osservare spirali logaritmiche nella disposizione delle foglie di alcune piante, definita come fillotassi. Un esempio sono l'ordinamento delle scaglie dell'ananas o la disposizione delle foglie dell'Aloe. Anche in astronomia si ritrova questo fenomeno, soprattutto nella forma delle galassie a spirale. I bracci delle galassie sono approssimativamente spirali logaritmiche. Si pensa che la nostra stessa galassia, la Via Lattea, abbia quattro bracci spirali principali, ciascuno dei quali è una spirale logaritmica con inclinazione di circa 12 gradi. I bracci dei cicloni tropicali, come gli uragani, formano spirali logaritmiche. In biologia, strutture approssimativamente simili alla spirale logaritmica si trovano facilmente. 

Anche nel corpo umano possiamo verificare l'esistenza del rapporto aureo: calcoliamo la nostra altezza e la rapportiamo con la distanza dall'ombelico fino a terra. Come vedrete in figura altri rapporti aurei li troverete calcolando i rapporti fra

•  la lunghezza del braccio e la distanza dal gomito e la mano
•  la distanza anca - gamba e distanza anca ginocchio
•  la distanza spalle - ombelico e distanza spalle - fronte

Uno dei lavori più famosi in questo ambito è stato realizzato dal grande Leonardo Da Vinci, l'Uomo Vitruviano: inscritto in un quadrato e in un cerchio, rivela l'esistenza di rapporti matematici nelle proporzioni del corpo umano. In esso, il rapporto tra il lato del quadrato e il raggio del cerchio è aureo.

I FRATTALI

Anche la geometria dei frattali dimostra quanto la matematica e la geometria siano presenti in natura. Un frattale è un oggetto geometrico che si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse, e dunque ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene una figura simile all'originale. In natura esistono molti esempi di frattali e spesso tale geometria viene utilizzata per mettere in luce un rapporto tra microcosmo e macrocosmo (cosmologia frattale). In un albero (soprattutto nell'abete) ogni ramo è approssimativamente simile all'intero albero e ogni rametto è a sua volta simile al proprio ramo, e così via; è anche possibile notare fenomeni di auto-similarità nella forma di una costa: con immagini riprese da satellite man mano sempre più grandi si può notare che la struttura generale di golfi più o meno dentellati mostra molte componenti che, se non identiche all'originale, gli assomigliano comunque molto. Frattali sono presenti anche nel profilo geomorfologico delle montagne, nelle nubi, nei cristalli di ghiaccio, in alcune foglie e fiori.

«Si ritiene che in qualche modo i frattali abbiano delle corrispondenze con la struttura della mente umana, è per questo che la gente li trova così familiari. Questa familiarità è ancora un mistero e più si approfondisce l'argomento più il mistero aumenta»

(Benoît Mandelbrot)

La struttura a frattale di un broccolo romano.

ALAN TURING E LA TEORIA MATEMATICA DELL'EMBRIOLOGIA

Alan Turing (Londra, 23 giugno 1912 – Manchester, 7 giugno 1954) è stato un crittografo, matematico, logico e filosofo. E' famoso per la formalizzazione del concetto di algoritmo mediante l'omonima macchina, che ha costituito il primo passo verso gli attuali computer. Per questo contributo è solitamente considerato il padre della scienza informatica e dell'intelligenza artificiale, da lui teorizzate già negli anni trenta del '900, ed anche uno dei più brillanti crittoanalisti che operarono nel Regno Unito durante la seconda guerra mondiale, per decifrare i messaggi scambiati da diplomatici e militari delle Potenze dell'Asse. Nonostante la brillante mente la vita di Turing è stata segnata dalla sofferenza in seguito alle persecuzioni del governo britannico per la sua omosessualità. Turing, infatti, è morto suicida.
Nonostante venga ricordato principalmente per i suoi contributi alla matematica, alla logica, all'intelligenza artificiale, Turing aveva una motivazione altissima alla curiosità ed all'osservazione, gli stessi compagni di scuola lo descrivevano come "colui che guarda crescere le margherite". Era spinto da una passione per la scienza e uno stupore che ha conservato sempre nella vita, qualsiasi cosa facesse. Sono queste le motivazioni che lo hanno portato, successivamente allo studio degli algoritmi e dell'intelligenza artificiale, all'interesse per la biologia matematica. 
In una lettera del 8 febbraio 1951 inviata al neurofisiologo John Zachary Young, Turing cercava di spiegare questo suo nuovo interesse, una teoria matematica dell'embriologia:

«Al momento non sto affatto lavorando al problema, ma alla mia teoria matematica dell'embriologia, che penso di averla descritta una volta. Questa sta rispondendo al trattamento, e per quanto posso vedere, darà una soddisfacente spiegazione a questi problemi:

1. Gastrulazione.

2. Strutture poligonali simmetriche, per es. stelle marine, fiori.

3. La disposizione delle foglie, in particolare il loro collocarsi seguendo la serie di Fibonacci.

4. I patterns colorati degli animali, per es. strisce, macchie, chiazze.

5. I patterns sulle strutture quasi sferiche come alcuni radiolari, ma ciò è più difficile e dubbio.»

Egli cercava dunque di comprendere cosa succedesse durante lo sviluppo di un essere vivente, in particolare come da una cellula potesse poi formarsi un essere vivente con la sua determinata forma: la disposizione particolare delle foglie, la forma geometrica frattale del cavolo, la formazione di macchie e strisce simmetriche sul mantello degli animali, ecc... Come fanno i geni a fare in modo che si realizzino proprio quelle caratteristiche? 

Nel 1952 Turing pubblica i risultati dei suoi studi in un articolo intitolato The chemical basis of morphogenesis: un saggio innovativo, un connubio tra matematica e biologia. Tuttavia la teoria della morfogenesi è rimasta in ombra per diversi anni, quasi sospesa per attirare l'attenzione della comunità scientifica in tempi più recenti, quando si è cominciato a comprenderne il valore e la potenzialità. L'articolo del 1952 di Turing viene infatti oggi considerato un lavoro pionieristico, che ha aperto la strada a campi di ricerca prima d'ora inesplorati. Turing era certo in anticipo sui tempi, ci sono voluti diversi anni per accogliere appieno la sua teoria. 

La teoria è stata confermata nel 2014 dai ricercatori della Brandeis University e della University of Pittsburgh, che hanno fornito la prima prova sperimentale che valida le predizioni di Turing. Il lavoro, intitolato Testing Turing’s theory of morphogenesis in chemical cells, è stato pubblicato su Proceedings of the National Academy of Sciences (Pnas) ed è disponibile cliccando qui.